拼命探索，拓扑捅出不计后果，洞没欢迎您收听思考盒子，拓扑捅出还是洞没先上硬广，欢迎大家继续参与抽奖活动，拓扑捅出奖品分别是洞没由丁博士公司提供的有机活性碳，和美人茶公司提供的拓扑捅出茶叶。上期节目过后，洞没相信有很多朋友可以开心一下了，拓扑捅出终于可以中奖了，洞没奖品倒是拓扑捅出不太贵重，但是洞没这也表达了我们公司和赞助商的一片心意，希望您能喜欢，拓扑捅出反正都是洞没白来的，保证有一股便宜味。拓扑捅出

继续与数学有关的内容。今天我们聊聊拓扑。这个话题曾经有很多朋友都跟我说过，十分想听听，到底啥叫拓扑，这事确实是挺有意思，但是不太容易讲。为啥不好讲，有这么三方面的原因，一是，从大的方面来说拓扑这也算是几何学范畴的话题，所以，咱们做为一档纯音频的节目做几何学的内容很吃亏，不像回到2049，人家不只有音频，在B站，微信上，还有视频，还能露个脸，刘老板也是靠着自己的逆天的颜值吸引众多审美风格诡异的观众。

第二方面，虽然拓扑也算是一种几何，但是，它与我们平时接触的几何学有着显著的不同，完全颠覆我们的传统认知，在从小学到高中，以及大学中非数学专业，我们几乎不会用拓扑的思想来看待问题，可以说，以于大多数人来说，拓扑这绝对是一个全新的学科。没有什么基础知识可以利用.

还有最重要的第三方面，为啥叫拓扑这事难讲呢，因为，我不会呗。不过，这没关系，老子做了这么多期节目，还没有哪一期是我真正明白的呢，虽然不会，但是我可以编呀,而且,我还有这么强大的文案组做为后盾.

拓扑这个词，一听你就知道,这是一个音译，英文名叫Topology，最早是由高斯的学生李斯亭给起的名，想用来表示“位置的几何”。这个词的词源前半部分是古希腊词Topo，意思是“地方、方位”。后缀部分logy，也来自古希腊文，原意是“词语的聚集”，很多表示学科的单词都是以logy结尾的，生物学biology考古学archeology， 宇宙学, cosmology.

19世纪60年代，日本开始明治维新，全盘西化，大量的翻译了西方典籍，将Topology翻译成【方位学】，我国很多近现代的科技类词汇都是由日本引入了，Topology这个词也是如此。当初，我们也试着翻译成“形势几何学”或者是“连续几何学”，甚至是“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，显然这几种译名都不大好理解，有点让人摸不着头脑，所以，最后就干脆翻译成拓扑吧，让大家完全听不懂算了。

额外说几句,虽然，对我们普通人来说，从字面上来看,完全无法理解拓扑的含义，感觉只是简单的音译，但是，不得不说，这是一个音义兼顾，形神俱备的绝佳翻译的典范。从发音上来说，Topology，谐音拓扑。在语意上，“拓”者，乃是对土地之开发拓展也，“扑”者，乃全面覆盖之意，这即包含了Topology原意上地志学，地理学的意思，也有位置几何，连续几何全面覆盖的思想，这就是大师级别的翻译。

我对于翻译这事，有过一段专门时间的研究，严复先生曾提出过，翻译工作，最基本的要求叫信达雅，“信”，就是译文要准确， ；“达”就是 译文通顺明白；“雅”就是指译文时选用的词语要得体，优雅。咱看看，上世纪前半叶，那些博古通今，学贯中西的大家的翻译，简直是拍案叫绝 ，neon霓虹 、（engine）引擎、（totem）图腾，paracetamol扑热息痛,幽默Humor，就连bandage，翻译成绷带，足以看出大师的智慧与通达,音意俱佳,形神兼备。再看现在翻译的这叫什么玩意， BP机，VCD、 DVD、mp3、SUV，就没人把这些东西好好翻译一下呢，整一堆字母，真是一点内涵都没有，说是知识爆炸，真不知道把知识都崩到哪里去了。

介绍完了拓扑这个词，下面来说说拓扑学究竟是研究啥的呢。

刚才说了，拓扑学也属于几何学，但是，他并不是什么正经的几何学，我们从初中到高中，学校里边学的知识，一提到几何学，必然就是长宽高，面积，周长，体积，研究的是具体图形的数值关系，但是，在拓扑学的世界当中，虽然，他也注重于几何图形的相对关系，但是，与研究对象具体的长短、大小、面积、体积这些方面的性质却没有一毛钱关系。

我给你举一个例子，比如在26个字母当中，从拓扑学的角度来看，大写字母，A,D,R,O,P，他们都是一样的，因为，把他们拉抻变形之后，都会变成一个圈，大写字母B和数字8，还有没有眼镜片眼镜，它们都是一样的，因为拉抻变形之后，他们都包含两个圈，而大写字母，L,N,V,W,M这些都一样，拉抻之后，都是一条线。也就是说,在拓扑世界里，你可以随便的捏一捏，揉一揉、压一压、按一按，只不要捅出一个洞，那就没有事，你就不用负责，因为，对于原图形来说，他的性质没有任何改变。所以拓扑学也被称为橡皮泥几何。就是说它研究物体在连续变形下不变的性质,所以,在拓扑的世界里,所有的多边形和圆形在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆，

而线段和圆在拓扑意义下就不一样了，因为如果想把圆变成线段,那就要把他切段才行,它就不连续了.也可以这样理解,几何的东西有某种“刚性”，很硬,而拓扑则相对“软”一点。

再比如，我们从拓扑学的角度来看，可以把乒乓球，高尔夫球，足球，篮球看成是同样的东西，因为他们都是球，同样，在拓扑学家的眼里，你向他借了一个金戒指，那么你还他一个呼拉圈，或者是救生圈，甚至还他一个烟斗，都行，因为他会觉得，这都是一个环，在拓扑学上，他们都是等价的。

这种都是一个球，都是一个环的东西，用高逼格的说讲就叫同胚，这个胚是胚胎的胚，也就是说，可以把这些东西看做是由同样的原始东西发育而来，一个胚子出来的。

可以简单粗暴的理解，拓扑学，就是研究洞， 当然了，这么说显得档次有点LOW，所以，人家管这叫亏格，若曲面中最多可画出n条闭合曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格为n，其实就是有N个洞。乒乓球的亏格就是零，没有洞，钻戒的亏格就是1，大奔的标志亏格是3，蜂窝峰的亏格，那你就数他有几个洞吧。

说到这，似乎，我们可以领略到一些拓扑学要研究的重点所在，就是一个图形或者是物体，他的形态可以做很多的改变，但是，一些性质却没有变化，这就是他要研究的东西，但是，这玩意有什么实际作用呢。

哥尼斯堡七桥

在18世纪之初，哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥把【普雷格尔】河中两个岛及岛与河岸连接起来。可以看一下节目下方的图片，市民们经常沿着河岸和小岛散步，于是很自然地就提出这么一个问题，说：有没可能找到一条路线，能够沿它行走，经过全部7座桥却又不会重复的进入其中任何一座桥？就像我们现在旅游一样，不想错过任何一个景点，还不想走重复的路，于是，很多人在尝试各种各样的走法，结果是谁也没能做到。

既然普通人不行， 哥尼斯堡大学的学生们就跃跃欲试，结果还是以失败告终，所以，他们就写信给当时著名大数学家欧拉， 希望他能帮助解决这个问题。

欧拉看完信后，说，欧拉，这有何难，待老夫夫慢慢算来，既然两个岛和两岸陆地是桥梁的连接地点，那就不妨把这四个地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。这样，原来的七桥问题就变成了一个一笔画图的问题， 就是能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。现在许多小游戏里都是利用的这个原理。最后，欧拉不旦解决了这个问题，还总结出了这个图画问题的规律。给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。

因为，在这个问题当中，桥的长短并不重要，岛的大小也不重要，河的宽窄也不重要，重要的是，要考虑桥与岛的相对位置关系。这就是拓扑学要研究的重点所在。

我们现在也总用一个词，叫拓扑结构图，看起来很高深的样子，特别是在网络布局方面,用来描述网络节点设备和通信介质的分布情况。其实这和七桥问题一个道理，各种设备、数据终端就可以看成是七桥问题中的小岛,中间的链路,包括物理链路逻辑链路都可以看成是桥，核心思想都是把一个实际问题抽象成一个简单的，更为根本的表示相对位置关系的图型而已。

还有类似的布线问题， 就是在一个复杂的网络能否布在平面上而不自相交叉，我想大家和机箱后边都是一团乱麻，各种电线，网线，音频线，视频线，数据线，乱七八糟的。当然了，对于我们来说，这并不算什么大事，但是，这在电线布线的时候就是一个十分重要的问题了，怎么才能充分的利用空间，又不互相影响，还能节省材料，最主要的是同一层的连线不相交，这就涉及到复杂的算法，这里也涉及拓扑的思想。

太阳系的示意图

咱们上初中的时候，你也一定接触过拓扑图，就是电路图，电阻，电池，开头，灯泡的，然后，并连，串连，算电流电压的，这就是拓扑图，因为，你画出来的这个图只表示相对的位置关系，为了更加的直接，形象，但是并不代表实际比例的缩放。

再比如，我们看的太阳系示意图，中间是太阳，然后是，水金地，火木土，天海冥，八大行星加上冥王星一字排开，我们从小到大的，看的这个示意图都差不多，可是，我们一直都被偏了，这也并不是按照实际比例缩放的，这样做只是为了让你更容易理解行星与太阳的相对位置而已，也就是说，这和我们看到的地图不一样，地图是按照比例尺制成的，图上5厘米，实际5公里，图上10厘米，实际就10公里，地图不仅表示了相对的位置关系，还表示了距离长短的比例。但是，太阳系的示意图，只表示了他们的相对位置关系，并不代表实际距离。如果真的按照比例尺制成太阳系模型的话，那么把地球画成玻璃球这么大的话。那么，整个太阳系差不多就有旧金山这么大了，当然了，这里说的太阳系，是很不严谨的说法，只是说从太阳到海王星这么点区域，如果要是按照科依博带，或者是按照太阳引力作用范围来计算的话，那么这个图，根本就没个画了，如果想把太阳系集中在一张纸上，那么地球根本就看不到了，所以，我们只能选择用一种拓扑图的方式来表达相对的位置关系。

还有我们平时乘坐的地铁公交车的示意图，就是各个站点的先后顺序，哪个站点可以换乘其它的车，实际上，这也是用来表示相对位置，因为，我们更关心的站点的相对关系。

在金庸的小说当中，有很多的谜题一直在困扰着我们，比如说神雕侠侣中。杨过断臂多年，他是怎么剪指甲的呢，梅超风，修炼九阴白骨爪时，拉完屎是怎么擦屁股的呢，倚天屠龙记中，小昭带了多年的脚链，他是怎么换内裤的呢。

前两个问题有很多奇葩的答案，我们可以有时间详细说说，但是，从拓扑学的角度来说，小昭换内裤这个问题还真有强大的理论依据在背后支持，大家可以参考一下，节目下方的图片，我这也是从网上下载来了，大家一看图示就能明白了。这个操作的重点就是内裤他是有弹性的，可以通过脚链与脚踝之间的缝隙，然后，经过拉伸再绕过脚掌，这样就进行相对位置的变换，这就是拓扑学的思想，

九连环

 咱们民间有很多益智的玩具，比如九连环，魔方，华容道，这比现在的各种手游好玩100倍，其实这都涉及深刻的数学原理在里边，而九连环就与拓扑有关。即使你没玩过，也一定看过，这就和小昭换内裤的原理差不多，几个环看上去套在一起，似乎不可能分开，但是只要你有信心，反复尝试几次，还是不会，那就是因为你没掌握技巧,一旦有了拓扑的思想，眼界一下子就打开了，当然，九连环这并不是严格的拓扑学问题，因为，九连环可以看作是一种没有弹性的绝对的刚性结构，这与拓扑学有着本质的区别，在拓扑学家的眼里，九连环他本身就是分开的几个环。

四色定理

拓扑学中最为经典的一次应用应该就是著名的“四色定理”的证明过程了，这个咱们之前的节目专门花了一期的时间说过，四色定理，这也曾经的世界近代三大数学难题之一，与费马定理，哥德巴赫猜想齐名的，大概的故事就是，一位负责地图着色的人员，发现了一种有趣的现象：“ 每幅地图只用四种颜色着色，就能使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。就能够区分开了”这个看似简单的问题折磨了无数的数学家，人们反复尝试，画了各种各种的地图，都是成立，但是又不能从数学上加以严格的证明。进入到了20世纪，电子计算机出现，演算速度迅速提高，再到后来人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家【阿佩尔】与【哈肯】利用两台计算机，花了1200个小时，作了100亿个判断，终于完成了四色定理的证明。

具体怎么证明的，这并不重要，重要的是一种思维方式的转换，同样也是利用了拓扑学的思想。我们可以看一下世界地图，每个国家都不是规则的几何图案，国与国之间的界线也没有笔直的一条线，而且这还只是地球上有限的200多个国家，而四色问题提出的是针对于所有的地图，任意状态的国家，所以，这也就意味着有无数种的可能。虽然我们有计算机这个利器，但是在无穷面前，还是太弱小了。所以，这个问题的核心思想，还是把各种各样的地图通过拓扑的思想，也就不是不必在意国家的形状、面积的，周长，只是关心国与国之间是否相邻，两个国家共同的边界线是1米还是1千米，在四色问题上，是等价的，所以，这就直击问题的核心，把复杂的问题简单化，把国与国的相对位置，分为几大类，把无穷多的可能性，变为有限多个，而一旦问题变成了有限，那么接下来的工作就交给计算机和时间就行了。

耳机线打结也是拓扑学？

关于拓扑学，有不少著名的理论，定理之类，大多数都会让我们听了之后感觉一脸蒙蔽，咱们挑几个听起来像是人话的，聊聊。

第一，毛球定理，就是永远不能理顺椰子上的毛。

椰子这是南方很常见的水果，我们印象中椰子的外面有一层很厚很干燥的外壳，感觉这层外壳像是一块整体的皮似的，实际上它是由无数的毛紧密地交织而成的。

问题是，如果将椰子的毛全都散开，那么椰子就会变成一个毛茸茸的球体。那么用什么方法能把这个球体上的毛全部梳理平整，不留下任何竖起来的毛，也不存在像人的头发那样的旋呢？答案是，从科学的角度来看，这是一件不可能完成的任务。

为什么说无法完全梳理平整球体表面上的毛呢。这个事，最早由【布劳威尔】证明，所谓的理顺，就是所有的毛都顺着一个方向倒下去，我们可以在大脑中，幻想出许多种，自己帅气的发型，由tony老师流畅的设计你的头发梳理的方向，想怎么梳就怎么梳，可以做出任意的造型，更别说是理顺自己的毛了，但是，首先，你的脑袋并不是一个球体，因为，下面连着你的大脖子呢，另外，我们平时说的理顺和拓扑学说的理顺并不一样，总之，【布劳威尔】证明了，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场，也就是毛球定理。

结合两个实际的例子，估计你就能听明白了。

  毛球定理还有一个意想不到的“应用”，是在电子游戏里！很多人在玩第一人称射击游戏的时候，也就是使命召唤，CS这类的游戏时，会发现一个问题：当你上移鼠标，让你的角色抬头看天，或者下移鼠标，低头看地的时候，不小心，一个手抖就会发现自己的角色瞬间转了一百八十度；这就是相当于毛球中的“旋”的位置。

为什么会出现这种情况，这就是游戏引擎中面对的数学问题，理论你，鼠标的活动相当于数据的输入，这是一个连续的过程，画面也是渐进式的变化。但是，在你指天或者是指地的时候，这就是一个特殊的点，导致画面不能平滑的切换，鼠标极其微小的运动都会导致画面大幅度的翻转。

第二个定理叫博苏克-乌拉姆定理，专业的定义就不说了，说了也白说。直接看几个实际的例子就明白了，坐飞机出国旅行，如果是跨时区了，就要调整手机，手表的时间，如果是跨了国际日期变更线，就得调整日期了，加一天，或者是减一天。那么，在地球上，能不能设计出一种不需要国际日期变更线的时区体系呢，让每个地方的时间都和附近的时间差一点，为什么转了一圈之后，国际日期变更线两边紧挨着的地方要规定差一天呢，我们可以在笨理儿上理解这个问题，而，博苏克-乌拉姆定理则是从数学专业的角度回答这个问题。国际日期变更线是不可或缺的。这是拓扑学中博苏克-乌拉姆定理在一维情况下得到的推论。

根据这个定理，我们可以得出结论，在任一时刻，地球的赤道上总存在温度相等的两个点，当然，这里有一个前提条件就是温度是渐变的，这是一个纯数学上的思考，与地理知识无关，为什么会这样呢，有人可能会自行开始脑补了，假设在赤道上，有一个地方是20摄氏度，那么，沿着一个方向，温度不断的升高，21度，22度，23度，24度，一点点往上长呗，可以长到50度，60度，怎么可能存在两个同样温度的地点呢。别忘了，地球是圆的，你从一个地方出发，最后还会转回到这个起点，这个起点是20摄氏度，所以，无论是怎么变化，最终还是要回归到20摄氏度，所以，不管刚开始是怎么增长，最后保证有一个下降的过程。又因为温度是渐变的，所以在温度值不断变化的各个地点当中，一定有一个“相交”的时刻，这两个位置的温度就相同了。

如果把博苏克-乌拉姆定理上升到二维的尺度，还能得出一个推论，在地球上总存在对称的两点，它们的温度和大气压的值正好都相同。道理与前面说的温度一样，只不过是上升到二维平面，我们可以把温度值和大气压值所有可能的组合看成平面直角坐标系上的点来思考。

定理：布劳威尔不动点定理

这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如：拿两张一样的白纸，平铺在桌子上，他们是完全重合的，如果把纸看成是一个一个连续的点组成的话，那么，这些点是一一对应的，然后，我们把一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个纸团，注意但不能撕裂，再把纸团放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界，这时，我们就可以说，这个纸团上一定至少有一个点正好就在平铺的这张纸的对应点的正上方。另外一种理解方式，就是把一张白纸平铺在桌面上，再将它揉成一团，注意也是不能撕裂，放在原来白纸所在的地方，那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界，那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过，还是原来平铺的位置。为什么要反复强调不能撕碎，这就保证了这些点的连续性，假设可以把纸撕碎的话，那么，我们不用撕的太碎，只要撕成两半，对调一下，放在原来的位置，那就没有任何一个点与原来的位置是相同的了。

再说一个相对好理解的，把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的 地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。

再比如，在一些商场中，在地面上有一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确的找到一个“你在这里”的标记。

如果把布劳威尔不动点定理放在三维空间中，比我们用一个密封的锅来烧水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。假设有一杯咖啡，我们缓慢均匀地将它搅拌，然后令咖啡慢慢地静止下来。我们可以断言，至少有一个分子，它在搅动前的位置和它在静止后的位置重合。

研究有这些有啥用呢，催眠呗。

欧拉，黎曼和庞加莱吴文俊。

我们都知道，莱布尼兹是微积分的主要奠基人，当时与牛顿打的是不可开交，莱布尼兹对抽象符号系统有着独到的理解与特殊的偏好，所以，他创立的微积分符号系统，很快就把牛顿的符号系统给比下去了。同样，对于试图阐述几何图形的一些性质，他也想用抽象的符号来表示。

1679年的时候，莱布尼茨发表《几何特性》，提出了关于位置分析或者说是位置几何学的全新理念，因为，此时，笛卡尔的坐标系正是大红大紫，把数学与几何联系在了一起，但是，莱布尼茨发并不满足于此，他觉得，有一些几何性质的东西，这是跟几何体的具体大小无关的，自然地，也就不能通过坐标系中予以体现，实际这就是拓扑的思想，他自己想的倒是挺好，但是，这个理念有点太新了，太超前了，所以，同时代的人根本不知道他在说些什么，甚至也包括惠更斯这样的大神，完全不知道他想表达什么。毕竟，莱布尼兹的这种思想要到300年后，才成为数学的一个分支流派，叫代数拓扑，这中间经历了欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，黎曼，庞卡莱等诸多大神的共同努力才最终确立的。

这么多的大神，咱就挑几个有代表性的人物，比如有代表性的法器说一说。一个是莫比乌斯带，一个是克莱因瓶

莫比乌斯，这是一位德国人，他在数学上有很多贡献，但是，最出名的还是以他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带，也有叫莫比乌斯环的，上学的时候，老师带咱们做过实验，自己用纸，用脱水，做莫比乌斯环，然后从一面往上涂色，或者是沿中间剪开，可以看出他非常诡异的表现，它的重要特性就是，虽然在每个局部都可以说有正面和反面，但整体上去不能分隔成正面和反面。他只有一个面。

据说是，有一次﹐莫比乌斯在海滨度假。到了晚上﹐苍蝇太多﹐睡不着觉。他就把黏苍蝇的纸扭转半圈﹐然后把两端粘到一起﹐形成一个纸环。再把纸环挂在床头上。他临时制作的捕捉苍蝇的纸带很管用﹐睡的挺香。早晨醒来﹐他的目光落在那个纸环上﹐惊讶地发现这条纸只有一个面﹐只有一条棱。著名的莫比乌斯带就诞生了，你就当真的听。

要说这玩意有啥实际用途吗，可以做成戒指呗，代表一心一意，无穷无尽的爱，你仔细看循环标志也是利用的莫比乌斯带的想法，表示循环再造再利用。最实际的应用，要算是传送带了，你下次再有机会看到传送带的话，一定好好看一看，居然是做成了莫比乌斯环的形状，有啥好处呢，这样就可以分摊磨损，不至于只磨损一个面，延长使用寿命。

与莫比乌斯带类似的就是克莱因瓶，没有内外之分，虽然他叫瓶子，但是不能装水，当然了，也可以说，他能装下无穷无尽的水，也能把天装下去，感觉这有点像西游记里的桥段，不知道当初克莱因是不是受到吴承恩的启发，克莱因瓶，这是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，而我们是生活在三维空间中的人，所以，我们在网上看到的图上，都是一种折衷的无奈的表现手法，只能是将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。实际上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。我知道，我这样说，你也理解不了，当然了，我自己也不理解。就这么回事吧。

　庞加莱猜想

其实说到拓扑学，最应该讲的是庞加莱猜想，应该花一期的时间来讲都行，等我们团他招聘到数学方面的专家的，庞加莱猜想，这也是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题，后来被佩雷尔曼证明了。

庞加莱这个人，过多的介绍就不说了，直接说点与今天内容有关的，庞加莱意识到，描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界，以及它是不是其它几何体的边界，这就开始有点不像人话了，比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如一条纬线就是一个边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。稍微解释一下，这个边界，可以理解为孙悟空用他的棒子在地上画了一个圈，如果是在一个球面上，那么，你随便在哪画一个圈，不管多大，多小，里边的人都出不去，外边人的也进不来，而在一个轮胎面，有些情况，是里边的人出不去，外边人的进不来，而一些圈，虽然他也是圈，但是起不到保护保护唐僧的作用，这个很难形容，但是，我相信你一想就能想出来。

沿着这个思路思考，庞加莱就想到了，任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。这就是庞加莱猜想。这个定理，我是不打算给您各位讲明白了，因为，这里边每一个词我都不懂。什么单连通，什么三维流形，什么三维的球面。这里边都有着严格的数学上的定义。反正，我在网上查了一下，大概的意思，就是说，可以想象一个我们居住的房间。这个房子没有窗户、没有门，房间里有一个气球，气球不断的膨胀，假设气球非常结实，气球的“皮”是无限薄，而且不能被吹破。膨胀到最后会怎么样呢？ 庞加莱猜想就说了，气球吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。换句话说，我们把一个等同球形房间大小的气球，可以慢慢收缩成一个“点”。行了，就当你听懂了。庞加莱猜想有一个神奇地方，就是其它高维部分的证明比低维度部分的证明反而要简单。早在1961年，斯梅尔就证明了庞加莱猜想的五维空间和五维以上都是成立的。

拓扑学上有这样一个段子，博士生导师都要给学生制定一个研究的课题，拓扑学的博士生导师非常好当，因为，他可以，让今年的学生研究一个命题在三维下是成立的，明年让下一届学生证明在四维成立，这样就可以带无穷多个研究生了，根本不用像咱们做节目似的，天天还是考虑选题的事，但是，后来斯梅尔出来，直接证明了庞加莱猜想在五维以上都成立，因此，他也获得了菲尔茨奖。

拓扑学到底是什么时候出现的，已经无法考证确切的时间，有说是莱布尼茨的思想已经是拓扑学的萌芽，也有的说，欧拉的七桥问题是拓扑学的先声，这些都不重要了，总之，拓扑学这是由一代一代又数学家不断完善而形成，发展的学科，比起其它数学分支，他绝对是一个晚辈了，直到，上世纪下半叶开始，他才有了更加蓬勃的发展，据统计有十余位获得菲尔兹奖的数学家都是与拓扑学有关，这里边就包括前一阵子号称证明黎曼猜想的阿蒂亚，还有一位大神级人物，叫爱德华·威滕，当然，在这些获奖人当中，许多都是玩跨界的，特别是关于拓扑学，从它诞生的那一天起，就不只是局限于数学当中。比如说爱德华·威滕，你可能没听过这个名字，但是一定听过M理论，虽然不知道是啥，但是不名觉厉，这个M理论就是威滕提出来的。

2016年诺贝尔物理学奖解读

2016年诺贝尔物理学奖授予三位在美国高校从事研究工作的科学家，分别是[戴维·索利斯]、[邓肯·霍尔丹]和[迈克尔·科斯特利茨]，以表彰他们在物质的拓扑相变方面的理论发现。

从此就打开了一扇通向未知世界的大门，在那里，物质有着与我们的世界完全不同的奇异状态。

啥叫拓扑相变呢，对于什么是拓扑，我们已经心里有点B数了，何为相变？就是物质从一种相转变为另一种相的过程。通常认为，物质分为固态、液态、气态，甚至什么等离子态之类了，你就别跟我较真了，相变就是我们常见的固体冰融化成液体的水，液体的水又可以变成水蒸气，这就是相变，宏观上，我们所看到的相变，实际是分子在微观层面上作出改变的结果。这中间的区别主要是因为分子间距的改变。

而在一些极端的条件下，比如极高的温度或者极低的温度，也会出现很多更为奇异的状态。比如说给磁铁加热，温度到了一个临界点以后，磁性就会完全消失了，虽然你从外表看，还是那块吸铁石，但它在磁性上已经发生了改变，这也是一种相变。同样的，还有一些材料在温度变化的时候，会从不导电变为导电，或者在极低温下电阻就消失了。这也是相变。

好了，明白了拓扑，明显了相变，那么把二者结合起来。当外界条件发生变化的时候，一组原子的排列，有些情况是从几何学角度来看，发生了变化，但是它们仍然是拓扑等价的，可以想象把原来这一堆原子是围成一圈，而现在变成了三角形。还有一些情况，连拓扑都不等价了，原来是围成一圈，现在是变成了一条线，或者是变成两个圈了，这个时候就发生了拓扑相变，得奖的这帮人，当时的研究是，在薄层的物质上有很多的“旋”，低温的时候是两个两个成对出现，温度一升高，一下子全都分开成一个个的了。此时，他的很多性质也就发生了变化。

这次，诺贝尔奖让我们再次感受到了数学的重要性，也看到了数学与物理的联姻，微积分是牛顿力学的基础，黎曼几何是广义相对论的基础，微分几何是弦论的基础，量子力学也是离不开什么复变函数，偏微分方程，而拓扑学的繁花，也让它在物理学结出了丰硕的果实，但是，这仅仅是一个开始。